先ず、ご如才ないこととは思いますが、ｆ が同相であることを示すには、全単射連続性のみでは不十分で、開写像であることも言う必要があります。 こちらの質問はありませんでしたので、解決済みと理解しました。

ｆ の θ＝０ における連続性は、直感的には、
　　　ｆ（θ）→∞　　（θ→＋０）
　　　ｆ（θ）→−∞　（θ→２π−０）
から従います。 普通はこれで十分ですが、例えば ε−δ 論法で示せ、の様な指示があるのなら、以上を同論法に焼き直せば良いでしょう。 なお、θ＝０ における連続性を厳密に示すのは、「開集合の逆像が開集合」の性質を使うより、０ における ±∞ への収束性（発散性）を使う方が多少は楽ではないかと思います。 s103.GtokyoFL7.vectant.ne.jp (222.228.110.103) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 6.0; Trident/4.0; SLCC1; .NET CLR 2.0.50727; Media Center PC 5.0; .NET CLR 3.5.30729; .NET CLR 3.0.30729)

こんばんは。 質問文が不明瞭ですが、「数」とは正整数を指し、記号もすべて正整数であると解して回答します。 ｍ＝２，３ のとき明らかだから、ｍ＞３ とします。

以下、≡ はすべて ｍ を法とする合同記号（ｍｏｄ ｍ）とします。 Ｇ を、ｍ より小さく、かつ ｍ と互いに素な正整数全体の集合とします。 ｘ∈Ｇ のとき、ｘｙ≡１ となる ｙ∈Ｇ が一意に存在します。 習慣的記法に従い、この ｙ を、ｘ^−１ と書くこととします。
　　　Ｇ’＝｛ｘ∈Ｇ｜ｘ^−１≠ｘ｝
　　　Ｇ”＝｛ｘ∈Ｇ｜ｘ^−１＝ｘ、ｘ≠１，ｍ−１｝
とおきます。
　　　Ｇ＝｛１，ｍ−１｝∪Ｇ’∪Ｇ”
で、｛１，ｍ−１｝、Ｇ’、Ｇ” は（集合の意味で）互いに素です。

ｇ’∈Ｇ’ ⇒ ｇ’^−１∈Ｇ’だから、
　　　Π_{ｇ’∈Ｇ’}ｇ’≡１
です。

ｇ”∈Ｇ” のとき、（ｍ−ｇ”）^２≡１ だから、ｍ−ｇ”∈Ｇ で、ｇ”（ｍ−ｇ”）≡−１ です。 ｘ＝ｍ−ｘ だとすると、ｍ＝２ｘ となるので、ｘ∈Ｇ ではありません。 よって、
　　　Π_{ｇ”∈Ｇ’}ｇ”≡±１
です。

以上から、
　　　Ｍ＝１×（ｍ−１）×Π_{ｇ’∈Ｇ’}ｇ’×Π_{ｇ”∈Ｇ”}ｇ”≡±１
です。 s103.GtokyoFL7.vectant.ne.jp (222.228.110.103) Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 6.0; Trident/4.0; SLCC1; .NET CLR 2.0.50727; Media Center PC 5.0; .NET CLR 3.5.30729; .NET CLR 3.0.30729)