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高校以下の数学・算数質問板(高校以下・携帯用) | 大学数学質問掲示板(大学・携帯用)

【よく質問される問題】

このpageでは、DS数学BBSおよびDS数学BBS・2で、過去に複数の方から質問投稿を頂いた問題と解答例を集めていきます。なお、解答の正しさは保証しませんので、宿題・レポート等に用いて何らかの不利益を被ったとしても、当方は責任を負いかねます。

問題 1 (ラングレーの問題) 問題図 | 問題 1 の解答

三角形ABCにおいて、AB = AC, ∠BAC = 20°とする。辺AB上に点Dを∠BDC = 50°となるようにとり、辺AC上に点Eを∠BEC = 40°となるようにとる。このとき、∠CDEの大きさは何度か。

問題 2 (マイナス×マイナス=プラス) 問題 2 の解答

正の数と負の数を掛けると負の数になるのは何故か。また、負の数と負の数を掛けると正の数になるのは何故か。標準的な中学生対象の集団授業で通用するように説明してください。

問題 3 (分数の割り算) 問題 3 の解答

分数のわり算の際、わる数の分母と分子をひっくり返してかけると良いのは何故か。標準的な小学生対象の集団授業で通用するように説明してください。

問題 4 (何度も掲示板に書き込まれた問題) 問題 4 の解答(gif画像) | 問題 4 の解答(PDFファイル)

pを奇素数とするとき、次を示せ。

p|_pC_r (r = 1 , 2, …, p - 1)
整数aは、a^p-1≡1 (mod p), a^p-1(/≡)1 (mod p²)を満たすものとする。このとき、負でない整数mに対して

a^{(p-1)p^m} ≡1 (mod p^m+1), a^{(p-1)p^m} (/≡)1 (mod p^m+2)　…[♥]

※ ここで、(/≡)は「合同でない(¥not¥equiv)」の意味で使いました。
整数n(≧2)に対して、

a^{(p-1)p^n-1} ≡1, a^{(p-1)p^n-2} (/≡)1 (mod pⁿ)　…[♣]

問題 5 (掲示板に何度も書き込まれた導関数問題) 問題 5 の解答(gif画像)

次の関数f(x)の第n次導関数f⁽ⁿ⁾(x)を求めよ。

f(x) = x³e^3x
f(x) = 1/(1 - x²)

問題 6 (0.999… = 1) 問題 6 の解答

0.99999……(無限循環小数)が1に等しいのは何故でしょう。分数や小数の計算を理解した小学生が理解できるように説明してください。

問題 7 (三角形の三中線を三辺とする三角形) 問題 7 の解答

△ABCの各辺BC, CA, ABの中点をそれぞれD, E, Fとする。 QR＝AD、RP＝BE、PQ＝CFなる△PQRを作った時、元の三角形との面積比△ABC : △PQRを求めよ。

問題 8 (カテナリ・懸垂線) 問題 8 の解答

伸びないヒモを2点で固定し自由に下に垂らしたらどのような曲線ができるか。

問題 9 (分配法則を用いた包含関係の証明) 問題 9 の解答

分配法則を用いて、集合A，B，Cに関し、次の性質が成り立つことを示せ。

C ⊂ A ⇔ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C
A = B ⇔ A ∪ C = B ∪ C かつ A ∩ C = B ∩ C

問題 10 (正則な 2 次行列の集合は群) 問題 10 の解答(PDF ファイル)

2 次行列の集合は行列の積について群になることを示せ。

問題 11 (何度も質問が書き込まれた謎の不等式問題) 問題 11 の解答

a , xは実数とする。任意の x に対して「x > a ⇒ x² > a²」が成り立つための必要十分条件を求めよ。

問題 12 (謎の三角関数問題) 問題 12 の解答

凸四辺形 OABC において、OA = 28 , AB = 21 , BC = 5 , ∠OAB = ∠OBC = 90°である。このとき ∠AOC の大きさを求めよ。

問題 13 (整数の類別) 問題 13 の解答

整数全体の集合 Z の 2 元 a , b の間に
a ～ b ⇔ 「a と b を 7 で割ったとき、それぞれの余りが等しい」
という関係を入れる。また、整数 k に対し、集合 {x|x ～ k} を c(k) と表すことにする。

以下の問に答えよ。
- 関係～は同値関係であることを示せ。
- c(0) , c(1) , … , c(6) は Z の類別であることを示せ。
集合 {c(0) , c(1) , … , c(6)} に c(a)c(b) = c(ab) によって乗法を定義する。
- この乗法の定義は代表元のとり方に依らないことを示せ。
- c(4)c(x) = c(1) となる x を求めよ。
- k = 1 , 2 , … , 6 に対し、c(k)c(x) = c(1) をみたす x は、一意に定まることを示せ。

問題 14 (4 つの数からなる集合) 問題 14 の解答

i を虚数単位(i = √(- 1))とするとき、次の問に答えよ。

A = {1 , - 1 , i , - i} は乗法と除法について閉じていることを示せ。
4 つの数からなる集合 B が乗法と除法について閉じているならば、B = A であることを示せ。

問題 15 (線型変換) 問題 15 の解答(PDF ファイル)

R² 上の線型変換 f によって f(1,1) = (2,0) , f(1,- 1) = (0,- 2) となっているとき、次の問に答えよ。

f(e₁) , f(e₂) を求めよ。
基底 {e₁ , e₂} に関して f に対応する行列 A を求めよ。
任意のベクトル (x,y) の f による像はどのようなベクトルか。
a₁ = (1,1) , a₂ = (1,- 1) を R² の基底として選ぶとき、f に対応する行列 B を求めよ。

問題 16 (確率) 問題 16 の解答

離散型確率変数 X , Y の分布は P(X = x_i) = p_i (i = 1 , 2 , p₁ + p₂ = 1) , P(X = y_j) = q_j (j = 1 , 2 , q₁ + q₂ = 1) である。このとき次の問に答えよ。

P(X = x_i , Y = y_j) = r_ij とするとき
- r_i1 + r_i2 = p_i (i = 1 , 2)
- r_1j + r_2j = q_j (j = 1 , 2)
が成立することを確率の公理を用いて示せ。
上の結果を利用して E(X + Y) = E(X) + E(Y) を示せ。